Barisan dan Deret Geometri

Materi Barisan dan Deret Geometri

Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … U_n/U_n-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
U_n/U_n-1 = r maka U_n = U_n-1. r = ar^n-2.r = ar^n-2+1 = ar^n-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = ar^n-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….
jawab :
kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.
r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2^-3.2⁹ = 2⁶ = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

  S_n = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r S_n = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ    (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
S_n – rS_n = a – arⁿ
S_n (1-r) = a (1-rⁿ)
Sn = a  (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan  dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret	rasio (r)	rumus
divergen	r ≥ 1 atau r ≤ 1	s = ∞
konvergen	-1< r < 1	s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2

Berbagi :